Estadística y Probabilidad

1. Primera entrega — Cuartiles, varianza y regresión

Ejercicio 1 — Cuartiles de edad

Dispones de la edad del conjunto de los 20 miembros del equipo de operaciones (N=20) de la empresa. Ordenadas de menor a mayor:

19, 21, 24, 28, 28, 29, 30, 32, 33, 34, 37, 40, 45, 45, 52, 53, 54, 56, 60, 63

Q1: (1×20)/4 = 5,25 → promedio (28+29)/2 = 28,5 → 29 años. El 25% de los empleados tiene 29 años o menos.

Q2: (2×20)/4 = 10 → promedio (34+37)/2 = 35,5 → 37 años. El 50% de los empleados tiene 37 años o menos.

Q3: (3×20)/4 = 15 → promedio (52+53)/2 = 52,5 → 53 años. El 75% de los empleados tiene 53 años o menos.

Ejercicio 2 — Cuartil, decil y percentil (peso en gramos)

A. Primer cuartil: Posición K·n/4 = 1·463/4 = 115,75 → ≈ 333,825 g. El 25% de las unidades pesa menos de 333,825 g.

B. Séptimo decil: Posición K·n/10 = 7·463/10 = 324,1 → ≈ 540,59 g. El 70% de las unidades pesa menos de 540,59 g.

C. Percentil 30: Posición K·n/100 = 30·463/100 = 138,9 → ≈ 358,41 g. El 30% de las unidades pesa menos de 358,41 g.

Ejercicio 3 — Varianza y desviación estándar (precio gasolina)

Precio medio = 1,3566 €. Varianza y desviación estándar calculadas sobre 400 estaciones.

% desviación estándar = (0,07329 / 1,356) × 100 = 5,4%. La desviación es relativamente baja: los precios están agrupados alrededor de la media, lo que sugiere poca variabilidad.

Ejercicio 4 — Varianza (peso animal)

Media = 53,5. Varianza = 167,34. Desviación estándar = 12,94.

% desviación estándar = (12,94 / 53,5) × 100 = 24%. La variabilidad de los pesos es significativa y debe considerarse para la capacidad de carga y habitabilidad del transporte.

Ejercicio 5 — Dispersión relativa (placas solares)

Longitud: media = 180 cm, σ = 18 cm → dispersión relativa = 10%.

Anchura: media = 60 cm, σ = 12 cm → dispersión relativa = 20%.

La anchura debe controlarse más por tener mayor dispersión relativa; el encaje de las placas en anchura es más crítico.

2. Segunda entrega — Combinatoria, probabilidad y teorema de Bayes

Ejercicio 1 — Combinaciones (grupo auditoría)

a) Cualquier técnico y economista: C(5,2) × C(7,3) = 10 × 35 = 350 combinaciones.

b) Un economista determinado debe pertenecer: C(5,2) × C(6,2) = 10 × 15 = 150 combinaciones.

c) Dos técnicos fiscales determinados no pueden participar: C(3,2) × C(7,3) = 3 × 35 = 105 combinaciones.

Ejercicio 2 — Teorema de Bayes (cajas defectuosas)

P(defecto) = 0,01×0,35 + 0,03×0,20 + 0,025×0,24 + 0,02×0,21 = 0,0197 (1,97%).

P(A1 | defecto) = (0,01×0,35) / 0,0197 = 0,1777 → 17,77%.

Ejercicio 3 — Sucesos independientes

P(A) = 0,2; P(A∩B) = 0,16. Como son independientes: P(A∩B) = P(A)·P(B) → P(B) = 0,16/0,2 = 0,8.

P(no A ∩ no B) = (1−0,2) × (1−0,8) = 0,8 × 0,2 = 0,16 (16%).

Ejercicio 4 — Función de distribución

X ∈ {0,1,2} con P(0)=0,3; P(1)=0,5; P(2)=0,2.

F(0) = 0,3; F(1) = 0,8; F(2) = 1.

Ejercicio 5 — Probabilidades (variable discreta)

X ∈ {0,1,2,3,4} con P = {0,2; 0,3; 0,3; 0,1; 0,1}.

P(X ≥ 2) = 0,3+0,1+0,1 = 0,5.

P(X > 2,2) = P(3)+P(4) = 0,2.

P(0 ≤ X < 4) = 1 − P(4) = 0,9.

P(1 < X ≤ 3) = P(2)+P(3) = 0,4.

3. Tercera entrega — Binomial, Poisson, Normal y regresión lineal

Ejercicio 1 — Distribución Binomial (n=10, p=0,9)

P(X = 9): C(10,9) × 0,9⁹ × 0,1¹ = 10 × 0,3874 × 0,1 = 0,3874 (38,7%).

P(X = 10): 1 × 0,9¹⁰ × 1 = 0,3486 (34,9%).

P(X ≥ 9): 0,3874 + 0,3486 = 0,736 (73,6%).

Ejercicio 2 — Distribución de Poisson (μ = 3)

f(x) = e⁻³·3ˣ / x!

F(0) = e⁻³ = 0,0497 (4,97%).

P(X ≥ 1) = 1 − e⁻³ = 0,9502 (95%).

Ejercicio 3 — Binomial (ventas, n=8, p=0,85)

P(X = 6): C(8,6) × 0,85⁶ × 0,15² = 28 × 0,3771 × 0,0225 = 0,2375 (23,7%).

P(X = 7): C(8,7) × 0,85⁷ × 0,15¹ = 8 × 0,3205 × 0,15 = 0,3846 (38,4%).

P(X = 6 o 7): 0,2375 + 0,3846 = 0,6221 (62,2%).

Ejercicio 4 — Distribución Normal (μ=300, σ=50)

P(X > 362): z = (362−300)/50 = 1,24 → P(Z > 1,24) = 1 − 0,8925 = 0,1075 (10,75%).

Ejercicio 5 — Regresión lineal (sueldo vs productividad)

Media X = 20.400 €; Media Y = 2.300 €. Varianza X = 53.300.000; σₓ = 7.300,68. Varianza Y = 1.450.000; σᵧ = 1.204,15.

Las dos variables están fuertemente relacionadas: a mayor sueldo, mayor productividad. Los datos son fiables; es razonable incentivar por objetivos.

4. Cuarta entrega — Estadística descriptiva y T-Student

Ejercicio 1 — Reclamaciones (media, mediana, moda, varianza)

Reclamaciones por día: L=26, M=30, X=16, J=32, V=16.

Media: (26+30+16+32+16)/5 = 24.

Mediana: ordenando 16,16,26,30,32 → 26.

Moda: 16 (bimodal con frecuencia 2).

Varianza poblacional: [(26−24)²+(30−24)²+(16−24)²+(32−24)²+(16−24)²]/5 = (4+36+64+64+64)/5 = 232/5 = 46,4.

Desviación estándar: √46,4 ≈ 6,81.

Ejercicio 2 — Calidad por líneas de ensamblaje

Durabilidad media por línea: 1=6, 2=5, 3=8, 4=8, 5=9, 6=7, 7=6, 8=7, 9=8, 10=2, 11=8, 12=7, 13=9, 14=9, 15=4.

2.a: La línea 10 (durabilidad 2) tiene una calidad excesivamente baja respecto a las demás.

2.b: Grupos: 1-3 (media 6,33), 4-6 (media 8), 7-9 (media 7). El grupo 4-6 ofrece la mayor calidad.

Ejercicio 3 — T-Student (formación operarios)

Operarios tipo A (6): 26, 25, 43, 34, 18, 52.

Operarios tipo B (5): 23, 30, 18, 25, 28.

H₀: μ₁ − μ₂ = 0 (no hay diferencia significativa). H₁: μ₁ − μ₂ ≠ 0.

Se aplica t-test para muestras independientes. El valor t es pequeño y el p-valor supera 0,05 → no se rechaza H₀. No hay suficiente evidencia para afirmar que exista una diferencia significativa entre las horas dedicadas de ambos grupos.